Question

Сначала работало все нормально, но потом внезапно пропал выход в Play Market и стало невозможно ввести свой аккаунт. Был сделан сброс настроек, но это не помогло. При попытке вести существующий аккаунт в gmail выводит текст "не удается установить надежное соединение с сервером", хотя есть выход в интернет через браузер по Wi-Fi.

Answer 1

При такой ошибке (Не удается установить надежное соединение) смотрите решения в нашей базе ответов: здесь, здесь или здесь.
А кроме того Настройки\Учетные записи и синхронизация\Фоновый режим - включить галочку.